Главная

Лекция 15. Кинематика планетарных механизмов.

§ 1. Сложные зубчатые механизмы

Сложными зубчатыми механизмами называются механизмы с зубчатыми передачами с числом зубчатых колес больше двух. Это могут быть механизмы с оригинальными структурными схемами или механизмы, образованные последовательным и (или) параллельным соединением простейших типовых зубчатых механизмов.
Механизмы, в которых кинематические цепи образуют один или несколько замкнутых контуров и в которых входной поток механической мощности в процессе передачи и преобразования делится на несколько потоков, а затем суммируется на выходном звене, называются многопоточными механизмами. Распределение передаваемых усилий по нескольким кинематическим парам уменьшает нагрузку на элементы пар и позволяет существенно уменьшать габаритные размеры и массу механизмов. Многозонный контакт звеньев механизма существенно увеличивает жесткость механизма, а за счет осреднения ошибок и зазоров, уменьшает мертвый ход и кинематическую погрешность механизма. Однако, за счет образования в структуре механизма внутренних контуров, число избыточных или пассивных связей в механизме увеличивается. Поэтому при изготовлении и сборке механизма необходимо либо повышать точность деталей, либо увеличивать зазоры в кинематических парах.
Сложные зубчатые механизмы, в которых ось хотя бы одного колеса подвижна, называются планетарными механизмами. К типовым планетарным механизмам относятся:

однорядный планетарный механизм;
двухрядный планетарный механизм с одним внешним и одним внутренним зацеплением
двухрядный планетарный механизм с двумя внешними зацеплениями;
двухрядный планетарный механизм с двумя внутренними зацеплениями.

Элементы планетарного механизма имеют специальные названия:

зубчатое колесо с внешними зубьями, расположенное в центре механизма называется "солнечным";
колесо с внутренними зубьями называют "короной" или "эпициклом";
колеса, оси которых подвижны, называют "сателлитами";
подвижное звено, на котором установлены сателлиты, называют "водилом" . Звено водила принято обозначать не цифрой, а латинской буквой h.

В таблице 15.1 приведены структурные схемы типовых планетарных механизмов, а также диапазоны рекомендуемых передаточных отношений и ориентировочные значения КПД при этих передаточных отношениях.

Таблица 15.1

Типовые планетарные механизмы

№	Структурная схема механизма	Uред	КПД
1		3....10	0.97....0.99
2		7....16	0.96....0.98
3		25....30	0.9....0.3
4		30....300	0.9....0.3

§ 2. Кинематика рядного зубчатого механизма.

Рядным зубчатым механизмом называется сложный зубчатый механизм с неподвижными осями колес, образованный последовательным соединением нескольких простых зубчатых механизмов. Рассмотрим кинематику рядного механизма составленного из двух зубчатых передач: одной внешнего зацепления и одной внутреннего зацепления. Схема механизма изображена на рис. 15.1.

Напоминание: Для вращательного движения твердого тела относительно оси проходящей через точку А. Примем для размеров масштаб μl, мм/м, а для линейных скоростей - масштаб μV, мм/м∙с-1. Угловая скорость звена i равна

Таким образом при графическом кине матическом анализе угловая скорость звена равна произведению тангенса угла наклона прямой распределения лиейных скоростей на отношение масштабов длин и скоростей.

Аналитическое исследование кинематики рядного механизма

Из основной теоремы зацепления, для первой пары зубчатых колес с внешним зацеплением, можно записать

для второй пары зубчатых колес с внутренним зацеплением

Передаточное отношение механизма в целом будет равно:

Передаточное отношение сложного рядного зубчатого, образованного из нескольких соединенных последовательно простых зубчатых механизмов равно произведению передаточных отношений этих механизмов.

Графическое исследование кинематики рядного механизма

Изобразим в масштабе μl, мм/м, кинематическую схему рядного зубчатого механизма. Нанесем на эту схему линейную скорость точки P1, изобразив ее в произвольном масштабе μV, мм/м∙с-1 отрезком Р1Р'1. Соединим конец этого отрезка точку Р'1 с центрами вращения колес 1 и 2 точками 01 и 02 и получим прямые, определяющие распределение линейных скоростей этих звеньев, для точек лежащих на линии центров. Эти прямые образуют с линией центров соответственно углы ψ1 и ψ2 . Точка Р2 является точкой касания начальных окружностей колес 3 и 4. Так как в точке касания начальных окружностей линейные скорости звеньев 2 и 3 равны, а распределение линейных скоростей по линии центров для звена 2 известно, то можно определить отрезок Р2Р'2,который изображает скорость точки Р2 в масштабе μV, мм/м∙с-1. Соединив прямой точку Р'2 с центром вращения звена 3 получим прямую распределения линейных скоростей для точек звена 3, лежащих на линии центров. Угол, который образует эта прямой с линией центров, обозначим ψ3 . Угловые скорости звеньев определятся из этой схемы по формулам

Передаточное отношение, рассматриваемого рядного зубчатого механизма, будет равно

§ 3. Формула Виллиса.

Формула Виллиса выводится на основании основной теоремы зацепления и устанавливает соотношение между угловыми скоростями зубчатых колес в планетарном механизме. Рассмотрим простейший планетарный механизм с одним внешним зацеплением (см. рис. 15.3). Число подвижностей в этом механизме равното есть для получения определенности движения звеньев механизма необходимо сообщить независимые движения двум его звеньям. Рассмотрим движение звеньев механизма относительно стойки и относительно водила. Угловые скорости звеньев в каждом из рассматриваемых движений приведены в таблице 15.2.

В движении звеньев относительно водила угловые скорости звеньев равны угловым скоростям в движении относительно стойки минус угловая скорость водила. Если в движении относительно стойки ось зубчатого колеса 2 подвижна, то в движении относительно водила оси обоих зубчатых колес неподвижны. Поэтому к движению относительно водила можно применить основную теорему зацепления.

Движение механизма относительно стойки

Движение механизма относительно водила

То есть можно записать выражение, которое называется формулой Виллиса для планетарных механизмов

§ 4. Кинематическое исследование типовых планетарных механизмов графическим и аналитическим методами.

1. Двухрядный механизм с одним внутренним и одним внешним зацеплением.

Дано: Кинематическая схема механизма - ri , числа зубьев колес - zi ;

_______________________________________________

Определить: Передаточное отношение механизма - ?

Рис.15.4

Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис.15.4 на звене 2 нарезаны два зубчатых венца:

z2 , который зацепляется с зубчатым венцом z1 звена 1;

z3 , который зацепляется с внутренним зубчатыми венцом z4 звена 3.

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z2 и z1

для внутреннего зацепления колес z4 и z3

Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим

Графическое определение передаточного отношения.

В системе координат ri0V построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев. Для этого из точки А с ординатой r1 в выбранном произвольном масштабе μV, мм/м∙с-1 отложим отрезок aa'. Через конец этого отрезка и начало координат проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 1, лежащих на оси ri. Эта прямая образует с осью ri угол ψ1. Так как в точке с скорости звеньев 2 и 3 равны между собой и равны нулю, то соединяя точку с с прямой с точкой a', получим линию распределения скоростей для звена 2. Так как точка принадлежит звеньям 2 и h, то ее скорость определяется по лучу сa' для радиуса равного rB = (r1+r2), что в масштабе μV, мм/м∙с-1 соответствует отрезку bb'. Соединяя точку b' с началом координат прямой, найдем линию распределения скоростей для водила. Эта линия образует с осью ri угол ψh. Передаточное отношение планетарного механизма определенное по данным графическим построениям можно записать так

2. Однорядный механизм с одним внутренним и одним внешним зацеплением.

Рис.15.5

Аналитическое определение передаточного отношения.

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z2 и z1 :

для внутреннего зацепления колес z2 и z3:

Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим:

Графическое определение передаточного отношения.

3. Двухрядный механизм с двумя внешними зацеплениями.

Рис.15.6

Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис.15.6 на звене 2 нарезаны два зубчатых венца:

z2 , который зацепляется с зубчатым венцом z1 звена 1;

z3 , который зацепляется с внутренним зубчатыми венцом z4 звена 3.

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z2 и z1 :

для внешнего зацепления колес z4 и z3:

Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим:

Графическое определение передаточного отношения.

4. Двухрядный механизм с двумя внутренними зацеплениями.

Рис.15.7

Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис.15.6 на звене 2 нарезаны два зубчатых венца:

z2 , который зацепляется с зубчатым венцом z1 звена 1

z3 , который зацепляется с внутренним зубчатым венцом z4 звена 3.

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внутреннего зацепления колес z2 и z1 :

для внутреннего зацепления колес z4 и z3:

Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим:

Графическое определение передаточного отношения.

§ 5. Кинематическое исследование пространственных планетарных механизмов методом планов угловых скоростей.

Рассмотрим этот метод исследования на примере планетарного механизма конического дифференциала заднего моста автомобиля. На рис. 15.8 изображена схема механизма и планы угловых скоростей.

Рис.15.8

Планы угловых скоростей строятся в соответствии с векторными уравнениями:

w2=w1+w21;

w4=w3+w43

w3=w2+w32;

w5=w3+w53

Вектора относительных угловых скоростей направлены по осям мгновенного относительного вращения:

w21- по линии контакта начальных конусов звеньев 2 и 1;
w32 - по оси шарнира С;
w43 - по линии контакта начальных конусов звеньев 4 и 3;
w53 - по линии контакта начальных конусов звеньев 5 и 3.

Вектора абсолютных угловых скоростей направлены по осям кинематических пар, которые образуют звенья со стойкой:

w2 - по оси пары В ; w1 - по оси пары А ;
w4 - по оси пары Е ; w5 - по оси пары D .

Направление угловой скорости сателлита 3 определяется соотношением величин угловых скоростей w2 и w32 .

Рассмотрим три режима движения автомобиля:

прямолинейное движение w4 = w5 (векторная диаграмма на рис.15.8a). В этом режиме движения корпус дифференциала 2 и полуоси 4 и 5 вращаются с одинаковыми угловыми скоростями w4 = w5 = w2 , а относительная угловая скорость сателлита w32=0.
поворот автомобиля направо w4 < w5 (векторная диаграмма на рис.15.8б). При повороте направо угловые скорости полуосей не равны и связаны неравенством w4 < w5 , поэтому сателлит будет вращаться с такой угловой скоростью w32, которая обеспечивает постоянство угловой скорости корпуса дифференциала w2.
буксование левого колеса w4 = 0 (векторная диаграмма на рис.15.8в). При буксовании левого колеса, правое колесо останавливается w4 = 0, а левое будет вращаться с угловой скоростью w5 = 2∙w2 .

Для того, чтобы в условиях низкого сцепления колес с грунтом, уменьшить опасность их пробуксовывания в дифференциалы автомобилей высокой проходимости включают элементы трения или блокировки.

Вопросы для самопроверки

- Какой зубчатый механизм называется сложным?

- Какой механизм называется планетарным?

- Как определить передаточное отношение одной из схем планетарного редуктора аналитическим способом ?

- Как используются графический и аналитический способы для определения угловых скоростей звеньев планетарных зубчатых механизмов?

- Как устанавливаются кинематические зависимости в планетарном зубчатом механизме с коническими колесами?

- Как используется графический способ для определения угловых скоростей звеньев дифференциалов?

- Какова цель применения метода обращения движения при кинематическом анализе планетарных механизмов?

- Что отличает передаточное отношение от передаточного числа?

- Как определяют передаточное отношение многоступенчатого рядового механизма? Какое участие в формуле передаточного отношения принимают числа зубьев связанных колес?

- Какие звенья планетарного механизма называют центральными?

- Что представляет собой «обращенный механизм»?

- Запишите формулы Виллиса: для дифференциальной ступени типа 2КН; для планетарной ступени типа 3К.

- Как вычисляют передаточное отношение комбинированного механизма с последовательным соединением ступеней?

- Опишите методику кинематического анализа замкнутого дифференциального механизма.

Вопросы для самопроверки

Задача 1

Сколько оборотов сделает колесо , когда водило H совершит один оборот; колесо неподвижно, соотношение чисел зубьев колес .

Задача 2 (см. рисунок к задаче 1)

Сколько оборотов сделает водило H, когда колесо совершит один оборот; колесо неподвижно, соотношение чисел зубьев колес .

Задача 3 (см. рисунок к задаче 1)

Определить величину передаточного отношения , если соотношение чисел зубьев колес .

Задача 4 (см. рисунок к задаче 1)

Сколько оборотов сделает колесо относительно водила H, когда водило совершит один оборот; колесо неподвижно, соотношение чисел зубьев колес .

Задача 5

Определить величину передаточного отношения , если соотношение чисел зубьев колес .

Задача 6 (см. рисунок к задаче 5)

Задача 7 (см. рисунок к задаче 5)

Задача 8 (см. рисунок к задаче 5)

Сколько оборотов сделает колесо относительно водила H, когда последнее совершит один оборот; колесо неподвижно, соотношение чисел зубьев колес .

Задача 9

Найти угловую скорость сателлита , если =1 c^-1, =-1 c^-1. Соотношение чисел зубьев колес .

Задача 10

Для планетарной ступени комбинированного редуктора написать формулы для проверки условий соосности, соседства и сборки, выразив их через числа зубьев колес.

Задача 11 (см. рисунок к задаче 10)

Для комбинированного редуктора вывести формулу передаточного отношения , выразив его через числа зубьев колес.

Задача 12

Задача 13 (см. рисунок к задаче 12)

Задача 14

Задача 15 (см. рисунок к задаче 3.14)

Для комбинированного редуктора вывести формулу передаточного отношения , выразив его через числа зубьев колес; рассчитать величину при =18; =36; =77; =22; =21; =75.

Задача 16 (см. рисунок к задаче 14)

Для комбинированного редуктора установить условие, при выполнении которого его передаточное отношение .

Задача 17

Считая, что =3, найти частоту относительного вращения , если выходной вал B вращается с частотой =-10 об/мин.

Задача 18

Считая, что , найти частоту относительного вращения , если выходной вал вращается с частотой =-20 об/мин.

Задача 19

Формулу передаточного отношения редуктора 3К выразить через числа зубьев колес.

Задача 20 (см. рисунок к задаче 19)

Для редуктора 3К написать условия соосности, соседства (в предположении, что ) и сборки, выразив их через числа зубьев колес.

Задача 21

Задача 22

Для непланетарной части комбинированного редуктора написать формулы для проверки условий соосности, соседства и сборки, выразив их через числа зубьев колес.

Задача 23

Для комбинированного редуктора вывести формулу передаточного отношения , выразив его через числа зубьев колес. Рассчитать величину при .

Задачи 24 – 26

Формулу передаточного отношения каждого из редукторов типа 4К выразить через числа зубьев колес.

Задача 27

Для планетарного двухступенчатого редуктора вывести формулу передаточного отношения , выразив его через числа зубьев колес.

Задача 28 (см. рисунок к задаче 27)

Для планетарного двухступенчатого редуктора определить величину передаточного отношения при , .

Задача 29

Вал B редуктора вращается с частотой =100 об/мин, передаточное отношение редуктора =-25. Найти частоту вращения вала колеса относительно водила H, если соотношение чисел зубьев .

Задача 30

Вал B редуктора вращается с частотой =100 об/мин; найти частоту вращения колеса относительно вала водила H, если соотношение чисел зубьев .

Задача 31

Вал B редуктора вращается с частотой =40 об/мин, передаточное отношение редуктора = 25; найти частоту вращения колеса относительно вала A, если соотношение чисел зубьев .

Задача 32

Вал B редуктора вращается с частотой =100 об/мин, передаточное отношение редуктора = 25; найти частоту вращения колеса относительно вала A, если соотношение чисел зубьев .

Задача 33

Задача 34

Выходной вал B редуктора вращается с частотой =40 об/мин; найти частоту вращения колес и относительно вала водила, если соотношение чисел зубьев .

Задача 35

Выходной вал B редуктора вращается с частотой =40 об/мин, передаточное отношение редуктора = 31; найти частоту вращения колес и относительно входного вала, если соотношение чисел зубьев .

Задача 36

Передаточное отношение редуктора =-40, соотношение чисел зубьев , частота вращения входного вала =1400 об/мин; определить относительную частоту вращения .

Задача 37

Вал A редуктора вращается с частотой =1500 об/мин, передаточное отношение =40. Определить частоту вращения колеса относительно вала A, если =12.

Задача 38 (см. рисунок к задаче 37)

Вал A редуктора вращается с частотой =1500 об/мин, передаточное отношение =40. Определить частоту вращения колеса относительно водила H, если .

Задача 39

Выходной вал B редуктора вращается с частотой =-40 об/мин, передаточное отношение редуктора =-35; найти частоту вращения водила H относительно вала A, если соотношение чисел зубьев .

Задача 40 (см рисунок к задаче 39)

Входной вал A редуктора вращается с частотой =1400 об/мин, передаточное отношение редуктора =-35; найти частоту вращения водила H относительно вала A, если соотношение чисел зубьев .

Задача 41

Определить частоту вращения колеса относительно вала A, если и передаточное отношение редуктора =40. Выходной вал редуктора вращается с частотой =50 об/мин.

Задача 42

Определить частоту вращения колеса относительно вала водила , если передаточное отношение и частота вращения выходного вала =100 об/мин

Задача 43

Частота вращения вала A редуктора , передаточное отношение ; определить частоту относительного вращения , если .

Задача 44

Частота вращения вала A редуктора =1400 об/мин, передаточное отношение ; определить частоту вращения водила , если .

Задача 45

Передаточное отношение редуктора выразить через числа зубьев колес.

Задача 46 (см. рисунок к задаче 44)

Рассчитать передаточное отношение редуктора при следующих соотношениях чисел зубьев: ; .

Задача 47

Водило OAB планетарного механизма вращается с угловой скоростью =15 рад/с, колесо неподвижно. Определить угловые скорости сателлитов и , если числа зубьев колес =30, =20.